【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線A1B與AC1的方向向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出方向向量夾角，最后根據(jù)異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補(bǔ)可得夾角的余弦值；（2）根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系，得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出各半平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系確定二面角的正弦值．

試題解析：解：在平面ABCD內(nèi)，過點A作AEAD，交BC于點E.

因為AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz.

因為AB=AD=2，AA1=， .

則.

(1) ，

則.

因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.

(2)平面A1DA的一個法向量為.

設(shè)為平面BA1D的一個法向量，

又，

則即

不妨取x=3，則，

所以為平面BA1D的一個法向量，

從而,

設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則.

因為，所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值為.

點睛:利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；④破“應(yīng)用公式關(guān)”．

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【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于， 兩點，求的值.

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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)m的值是______；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上滿足對任意x1≠x2，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）求f（x）的定義域；

（2）當(dāng)x∈（1，+∞），

①求證：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；

②求使關(guān)系式f（2+m）＞f（2m-1）成立的實數(shù)m的取值范圍．

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【題目】下列命題：

①若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則；

②若銳角、滿足c，則；

③若，則對恒成立；

④要得到的圖像，只需將的圖像向右平移個單位：

其中真命題的個數(shù)有（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知的頂點， 在橢圓上， 在直線上，且．

（）求橢圓的離心率．

（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積．

（）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

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【題目】某校高三年級50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)他們的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，已知分?jǐn)?shù)在的矩形面積為，

求：分?jǐn)?shù)在的學(xué)生人數(shù)；

這50名學(xué)生成績的中位數(shù)精確到；

若分?jǐn)?shù)高于60分就能進(jìn)入復(fù)賽，從不能進(jìn)入復(fù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求兩人來自不同組的概率．

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【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面 為的中點, 面．

(1)求的長；

(2)求證：面面；

(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

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