Question

過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d滿足：
（I）證明點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在第一、三象限；
（II）若的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由已知，，直線方程為y=k（x-2），由及k＞0，得，解這個(gè)不等式，得
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標(biāo)是方程組的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，則，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=，
∵，
不妨設(shè)x₁＜0，則x₂＞0，此時(shí)y₁=k（x₁-2）＜0，于是y₂＞0，
A、B分別在第一、三象限．
（II）由，
注意到所以k的取值范圍是
分析：（I）設(shè)直線方程為y=k（x-2），由及k＞0，可知設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B坐標(biāo)是方程組的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系可以判斷出A、B分別在第一、三象限．
（II）由，能夠推導(dǎo)出k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．