Question

8．已知雙曲線(xiàn)C：2x²-y²=2與點(diǎn)P（1，2）．
（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB，使AB的中點(diǎn)為P？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后進(jìn)行分類(lèi)討論，把直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題進(jìn)行求解．
（2）假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2兩式相減得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由點(diǎn)差法進(jìn)行求出直線(xiàn)AB的斜率，繼而的得到直線(xiàn)方程，再和曲線(xiàn)構(gòu)造方程組，判斷方程組是否有兩個(gè)解，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（ⅰ）當(dāng)2-k²=0，即k=±$\sqrt{2}$時(shí)，方程（^*）有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)
（ⅱ）當(dāng)2-k²≠0，即k≠±$\sqrt{2}$時(shí)
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①當(dāng)△=0，即3-2k=0，k=$\frac{3}{2}$時(shí)，方程（^*）有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上知：當(dāng)k=±$\sqrt{2}$，或k=$\frac{3}{2}$，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
兩式相減得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
∴4（x₁-x₂）=4（y₁-y₂）  
即k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴直線(xiàn)AB的方程為y-2=x-1，即y=x+1
代入雙曲線(xiàn)方程2x²-y²=2，可得，x²-2x-3=0，
解得x=3，或x=-1，則該直線(xiàn)AB存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)問(wèn)題，注意檢驗(yàn)判別式的符號(hào)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題