Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1 ， 

π

3

)、(3 ， 

2π

3

)，曲線C的參數(shù)方程為

x=rcosα y=rsinα

(α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，求r的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可將A，B化為直角坐標(biāo)，再由直線方程的形式，即可得到AB的方程；
（Ⅱ）運(yùn)用同角的平方關(guān)系，可將曲線C化為普通方程即為圓，再由直線和圓相切：d=r，即可得到半徑r．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(1 ， 

π

3

)、(3 ， 

2π

3

)，
∴點(diǎn)A、B的直角坐標(biāo)分別為(

1

2

 ， 

3

2

)、(-

3

2

 ， 

3 3

2

)，
∴直線AB的直角坐標(biāo)方程為2

3

x+4y-3

3

=0；
（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程

x=rcosα y=rsinα

(α為參數(shù))，化為普通方程為x²+y²=r²，
∵直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴半徑r=

|3 3 |

(2 3 )2+42

=

3 21

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．