Question

設等差數列{a_n}的公差d≠0，數列{b_n}為等比數列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求數列{b_n}的公比q；
（2）將數列{a_n}，{b_n}中的公共項按由小到大的順序排列組成一個新的數列{c_n}，是否存在正整數λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和c_λ+λ，c_μ+μ，c_ω+ω均成等差數列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{b_n}的公比為q，依題意，由可求得q=±；
（2）若{a_n}與{b_n}有公共項，不妨設a_n=b_m，由于m為奇數，且n=，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，于是有c_n=2^n-1a，假設存在正整數λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）滿足題意，設p=λ，q=μ，r=ω則，利用基本不等式可求得q＞，與題設q=矛盾，從而可得結論．
解答：解：（1）設{b_n}的公比為q，由題意，即---------------------------------------------（2分）
q=1不合題意，故=，解得q²=2，
∴q=±----------------（4分）
（2）若{a_n}與{b_n}有公共項，不妨設a_n=b_m，
由（2）知：m為奇數，且n=，
令m=2k-1（k∈N^*），則b_m=a•=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整數λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）滿足題意，
設p=λ，q=μ，r=ω則，
∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2=（當且僅當p=r時取“=”）
又p≠r，
∴又2^p-1+2^r-1＞----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞．與題設q=矛盾，
∴不存在λ，μ，ω滿足題意．------------------------------------------（16分）
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查方程思想與運算求解的能力和推理論證的能力，屬于難題．