Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₃=9，若b_n=log₂（a_n-1），數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{{{a_2}-{a_1}}}+\frac{1}{{{a_3}-{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．由a₁=3，a₃=9可得b₁=1，b₃=3，可求d，由等差數(shù)列的通項公式可求log₂（a_n-1），進而可求a_n；
（2）求得$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{2^n}$，運用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 （1）解：設數(shù)列{b_n}的公差為d．
由a₁=3，a₃=9，
可得b₁=log₂2=1，b₃=log₂8=3，
得2d=3-1，解得d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）證明：由$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{2^n}$，
則$\frac{1}{{{a_2}-{a_1}}}+\frac{1}{{{a_3}-{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
故原不等式成立．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，以及等比數(shù)列的求和公式的應用，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題..