Question

4．設實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{（2x-y+2）（4x-y-2）≤0}\\{0≤x≤2}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=mnx+y（0＜n＜m）的最大值為10，則2m+n的取值范圍為（3$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的最大值確定最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得mn=2，結合已知得到m的范圍，然后利用函數(shù)單調性即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，
由z=mnx+y（m＞n＞0），
得y=-mnx+z（m＞n＞0），
則由圖象可知當直線y=-mnx+z經過點C時，截距最大，此時z最大為10，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$．
即C（2，6），此時2mn+6=10，
即mn=2，
∵m＞n＞0，∴m$＞\sqrt{2}$．
∴2m+n=2m+$\frac{2}{m}$=2（m+$\frac{1}{m}$）$＞2（\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）=3\sqrt{2}$．
∴2m+n的取值范圍為（$3\sqrt{2}，+∞$）．
故答案為：（$3\sqrt{2}，+∞$）．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，是中檔題．