Question

19．設$\overrightarrow a=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow b=（{{x_2}，{y_2}}）$定義一種向量積$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{{x_1}，{y_1}}）?（{{x_2}，{y_2}}）=（{{x_1}{x_2}，{y_1}{y_2}}）$．已知$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），點P（x，y）在y=sinx的圖象上運動，點Q在y=f（x）的圖象上運動，且滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$（其中O為坐標原點），則y=f（x）的最大值A及最小正周期T分別為（　�。�

• A． 2，π
• B． 2，4π
• C． $\frac{1}{2}$，4π
• D． $\frac{1}{2}，π$

Answer 1

分析 設Q（x，y），P（x₀，y₀），利用新定義結(jié)合已知得到關(guān)于Q、P坐標的關(guān)系，把P的坐標用Q的坐標表示，然后代入y=sinx求得函數(shù)f（x）的解析式，則答案可求．

解答 解：設Q（x，y），P（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），
則由$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$，得
（x，y）=（$2{x}_{0}，\frac{1}{2}{y}_{0}$）+（$\frac{π}{3}，0$）=（$2{x}_{0}+\frac{π}{3}，\frac{1}{2}{y}_{0}$），
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}$，y₀=2y，
代入y=sinx，得$y=\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$．
∴y=f（x）的最大值A=$\frac{1}{2}$，最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$．
故選：C．

點評 本題是新定義題，考查了平面向量的坐標運算，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中低檔題．