Question

8．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入a的值為二項（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{19{x}^{4}}$）⁹展開式的常數(shù)項，則輸出的k值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式的通項公式求得a=$\frac{9}{19}$，由程序框圖可得，S表示$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，再由S=$\frac{k}{2k+1}$≤$\frac{9}{19}$，求得k的最大值，可得答案．

解答 解：二項（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{19{x}^{4}}$）⁹展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{9}^{r}$•19^-r•${x}^{\frac{9-r}{2}}$，令$\frac{9-9r}{2}$=0，求得r=1，
可得常數(shù)項為 a=$\frac{9}{19}$．
而由程序框圖可得，S表示$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{k}{2k+1}$，k為正整數(shù)．
由S=$\frac{k}{2k+1}$≤$\frac{9}{19}$，求得k≤9，
故答案為：9．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．