Question

17．在四面體ABCD中，棱長AB=$\sqrt{5}$，其余棱長都是$\sqrt{3}$，求這個四面體的體積以及其外接球的半徑．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，取CD中點G，把四面體體積轉化為兩個三棱錐D-ABG、C-ABG的體積求解；由題目所給四面體的對稱性及其外接球的對稱性可知取AB中點Q，連接GQ，由對稱性可知，四面體ABCD外接球的球心O在GQ上，由于勾股定理，計算即可得到半徑R．

解答 解：如圖，取CD中點G，∵△ACD、△BCD都是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴AG=BG=$\frac{3}{2}$，
在等腰三角形AGB中，又AB=$\sqrt{5}$，∴G到AB的距離為$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=1$，
則${S}_{△AGB}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴${V}_{ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{15}}{6}$；
取AB中點Q，連接GQ，
由對稱性可知，四面體ABCD外接球的球心O在GQ上，
由勾股定理可得$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
解得R=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，訓練了正弦定理和余弦定理的應用，是中檔題．