Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），給出以下四個論斷：
①它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱；
②它的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱；
③它的周期是π；          
④在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函數(shù)．
以其中的兩個論斷為條件，余下的論斷作為結(jié)論，則下列命題正確的是（　�。�

• A． ①③⇒②④或②③⇒①④
• B． ①③⇒②④
• C． ②③⇒①④
• D． ①④⇒②③

Answer 1

分析 （1）①③⇒②④：由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，可得f（x）=sin（2x+φ），由于f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，可得$sin（\frac{π}{6}+φ）$=±1，根據(jù)-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），解得φ=$\frac{π}{3}$．可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，即可判斷出①④正確．
（2）②③⇒①④．由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得f（x）=sin（2x+φ），由f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，可得φ=$\frac{π}{3}$．于是f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$．即可判斷出①④正確．

解答 解：（1）①③⇒②④：由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，∴$sin（\frac{π}{6}+φ）$=±1，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，∴只可能φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$．∴f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，∴$f（\frac{π}{3}）$=sinπ=0，因此f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，即②正確；若x∈[-$\frac{π}{6}$，0），則$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[0，\frac{π}{3}）$，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函數(shù)，即④正確．因此①③⇒②④．
（2）②③⇒①④．由于T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），由f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，
∴$f（\frac{π}{3}）$=sin$（\frac{2π}{3}+φ）$=0，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{3}$．∴f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）$．由$f（\frac{π}{12}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．由（1）可知，f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，0）上是增函數(shù)．綜上可知：②③⇒①④．
綜上可得：A正確．
故選：A．

點評 本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．