Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，滿足點（n，s_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x圖象上，{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₅，b₂+a₃=-1
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列的前項n和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點（n，s_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x的圖象上得到數(shù)列遞推式S_n=n²-8n，由a_n=s_n-s_n-1=求得數(shù)列的通項公式．再由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=a₅=1，b₂=2求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式求得b_n；
（2）把a_n=2n-9，b_n=2^n-1代入c_n=a_nb_n，然后由錯位相減法求得數(shù)列的前項n和T_n．

解答： 解：（1）∵點（n，s_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x的圖象上，
∴S_n=n²-8n，
當n=1時，a₁=s₁=-7，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²-8n）-[（n-1）²-8（n-1）]=2n-9，
而a₁=-7滿足上式，
∴a_n=2n-9．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=a₅=1，b₂=2，
∴q=2，則b_n=2^n-1；
（2）由（1）知a_n=2n-9，b_n=2^n-1，
則Cn=(2n-9)•2n-1，
則Tn=(-7)×20+(-5)×2+(-3)×22+…+(2n-11)•2n-2+(2n-9)•2n-1  ①，
2Tn=(-7)×2+(-5)×22+…+(2n-13)•2n-2+(2n-11)•2n-1+(2n-9)•2n  ②，
①-②得，
-Tn=-7+2(2+22+23+…+2n-1)-(2n-9)•2n
=-7+2×

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-9)•2n=（11-2n）•2ⁿ-11．
∴Tn=(2n-11)•2n+11．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．