Question

【題目】如下圖，在三棱錐 中， ， ， 為 的中點(diǎn).

（1）求證： ；
（2）設(shè)平面 平面 ， ， ，求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè) 的中點(diǎn)為 ，連接 ，∵ ，∴ ，
又∵ 為 的中點(diǎn)，∴ ，∵ ，∴ ．
∵ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴
（2）解：由（1）知： ， ，
∵平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，
∴ ，∴ 兩兩互相垂直．
∵ ，∴ ．
由 為 的中點(diǎn)， 得 ，
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，則 ，
∴ ．
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，則 ．
∴ ，取 ，解得 ，
∴ 是平面 的一個(gè)法向量．
同理可求平面 的一個(gè)法向量 ．
設(shè)二面角 的大小為 ，則 ，
∵ ，∴ ，
二面角 的正弦值為 ．

【解析】（1）通過直線與平面垂直證明直線與直線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用法向量的夾角求二面角.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行即可以解答此題．