Question

7．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
①求證：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
②如果f（3）=1，解關(guān)于x的不等式f（5x）＞f（x-1）+2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進(jìn)行求f（1）的值；      
（2）①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并證明．
②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0；
（2）①若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＞x₂，
則f（x₁）＞f（x₂），
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
設(shè)x₁，x₂∈（0，1），且x₁＞x₂，
則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，則f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的是增函數(shù)．
（3）若f（3）=1，則f（9）=f（3）+f（3）=1+1=2，
則不等式f（5x）＞f（x-1）+2等價(jià)為f（5x）＞f（x-1）+f（9）．
即f（5x）＞f（9x-9）．
由（2）知函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則不等式等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{5x＞0}\\{x-1＞0}\\{5x＞9x-9}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞1}\\{x＜\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得1＜x＜$\frac{9}{4}$，
即不等式的解集為（1，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．