Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+

a

2x

，a為常數(shù)，若f （x）為偶函數(shù)．
（l）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可知f（-x）=f（x）對任意實(shí)數(shù)恒成立，求解即可得到a的值；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），然后化簡，判斷差的符號，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+

a

2x

，且f （x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即

1

2x

+a•2^x=2^x+

a

2x

對任意的實(shí)數(shù)都成立，
∴a=1；
（2）根據(jù)（1）可得，f（x）=2^x+

1

2x

，
f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-（2x2+

1

2x2

）
=（2x1-2x2）+（

1

2x1

-

1

2x2

）
=（2x1-2x2）+

2x2-2x1

2x1+x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

）
=（2x1-2x2）

2x1+x2-1

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞），
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，
∴（2x1-2x2）

2x1+x2-1

2x1+x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論，要注意化簡到能判斷符號為止．屬于中檔題．