Question

一個(gè)四面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為

5

，

10

，

13

的三角形，則這個(gè)四面體體積為

2

．

Answer 1

分析：考慮一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)四面體AB₁CD₁ 恰好就是每個(gè)三角形邊長(zhǎng)為

5

，

10

，

13

，利用長(zhǎng)方體的體積減去4個(gè)角的體積即可．

解答：解：設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁  三棱分別是a，b，c，
于是列出方程 a²+b²=5，b²+c²=10，c²+a²=13 于是解出 a²=4，b²=1，c²=9，a=2，b=1，c=3，
即對(duì)于三棱分別為1，2，3的長(zhǎng)方體 去掉4個(gè)角 就得到題中要求的四面體．
于是，所求四面體體積為：長(zhǎng)方體體積-4個(gè)角上直四面體體積=1×2×3-4×

1

3

×

1

2

×1×2×3=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查幾何體的體積的求法，注意構(gòu)造法，空間想象能力，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．