Question

從正方體的8個頂點選取4個點，連接成一個四面體，則關于這個四面體的各個面，下列敘述錯誤的是（　�。�

A．有且只有一個面是直角三角形

B．每個面可能都是等邊三角形

C．每個面可能都是直角三角形

D．有且只有一個面是等邊三角形

Answer 1

分析：我們把正方體中的所有三棱錐分為兩類：
第一類：在底面ABCD的三個頂點中任取三個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取一個作為三棱錐的第四個頂點，
第二類：在底面ABCD的三個頂點中任取兩個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取兩個作為三棱錐的另外兩個頂點，從而得出正方體中的所有三棱錐的情況．

解答：解：我們把正方體中的所有三棱錐分為兩類：
第一類：在底面ABCD的三個頂點中任取三個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取一個作為三棱錐的第四個頂點，一種是如圖（1）中的三棱錐A₁-ABD，其中三個面是直角三角形，
第四個面是等邊三角形；另一種是如圖（1）中的三棱錐D₁-BCD，四個面都是直角三角形． 故C，D正確；
 第二類：在底面ABCD的三個頂點中任取兩個作為三棱錐的頂點，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四個頂點中任取兩個作為三棱錐的另外兩個頂點，一種是如圖（2）中的三棱錐A₁-BC₁D，其中四個面是等邊三角形；另一種是如圖（2）中的三棱錐A₁-BB₁D，其中三個面是直角三角形，第四個面是等邊三角形． 故B正確
綜上，只有A選項中的命題是錯誤的
故選A

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正方體的幾何特征，對正方體中的所有三棱錐進行正確分類是解題的關鍵．