Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左頂點為A，右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線y=3分別交于G，H兩點，則線段GH的長度的最小值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由題意可知設直線AP的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程由韋達定理定理求得P點坐標，即可求得直線PB的斜率為-$\frac{1}{4k}$．將直線PB的方程與y=3聯立，即可H點坐標，求得|GH|，利用基本不等式的性質即可求得線段GH的長度的最小值．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左頂點為A（-2，0），右頂點為B（2，0），
直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+2），設P（x₁，y₁），從而 G（$\frac{3}{k}$-2，3），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
由韋達定理可知：（-2）x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．則x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，從而y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
即P（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），又B（2，0），
則直線PB的斜率為-$\frac{1}{4k}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4k}（x-2）}\\{y=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-12k+2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴H（-12k+2，3）．
故|GH|=|$\frac{3}{k}$-2+12k-2|=|$\frac{3}{k}$+12k-4|．
又k＞0，$\frac{3}{k}$+12k≥2$\sqrt{\frac{3}{k}×12k}$=12．
當且僅當$\frac{3}{k}$=12k，即k=$\frac{1}{2}$時等號成立．
∴當k=$\frac{1}{2}$時，線段GH的長度取最小值8．
故選：D．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，基本不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．