Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，E為棱A₁D₁中點(diǎn)．
（I）求二面角E-AC-B的正切值；
（II）求直線A₁C₁到平面EAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AD的中點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥平面ABCD，過(guò)H作HF⊥AC與F，連接EF，我們可得∠EFH即為二面角E-AC-B的補(bǔ)角，解三角形EFH后，即可求出二面角E-AC-B的正切值；
（II）直線A₁C₁到平面EAC的距離，即A₁點(diǎn)到平面EAC的距離，利用等體積法，我們根據(jù)=，即可求出直線A₁C₁到平面EAC的距離．
解答：解：（I）取AD的中點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥平面ABCD，過(guò)H作HF⊥AC與F，連接EF，
則EF在平面ABCD內(nèi)的射影為HF，由三垂線定理得EF⊥AC，，
∴∠EFH即為二面角E-AC-B的補(bǔ)角
∵EH=a，HF=BD=
∴∠tan∠EFH===2
∴二面角E-AC-B的正切值為-2…6分
（II）直線A₁C₁到平面EAC的距離，即A₁點(diǎn)到平面EAC的距離d，…8分
∵=
∴S_△EAC•d=
∵EF===
∴S_△EAC=•AC•EF=•a•=
而=••a=
∴•d=•a
∴d=
∴直線A₁C₁到平面EAC的距離
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到平面的距離，其中（I）的關(guān)鍵是得到∠EFH即為二面角E-AC-B的補(bǔ)角，（II）中求點(diǎn)到面的距離時(shí)，等體積法是最常用的方法．