Question

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an(

1

2

)n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知可得2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2從而導(dǎo)出a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），由此推出a_n=n．
（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列{an(

1

2

)n}的前n項和．

解答： 解：（1）由已知：對于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1．
∴a_n=n．
（2）S_n=1×

1

2

+2×（

1

2

^）2+…+n•（

1

2

^）n①
∴

1

2

S_n=1×（

1

2

^）2+2×（

1

2

^）3+…+（n-1）×（

1

2

^）n+n•（

1

2

^）n+1②
①-②得sn=2-

1

2n-1

-n•

1

2n

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的判定及其通項公式的應(yīng)用，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．