Question

求證：設(shè)ξ是隨機(jī)變量，ξ=η₁+η₂+…+η_n，η_i（i=1，2，…，n）都是存在數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)變量，那么E_ξ=E η1+E η2+…+E ηn．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)（η₁，η₂）～f（x，y），先證明E（η₁+η₂）=Eη₁+Eη₂．同理，得：ξ是隨機(jī)變量，ξ=η₁+η₂+…+η_n，
η_i（i=1，2，…，n）都是存在數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)變量，那么Eξ=Eη₁+Eη₂Eη₁+…+Eη_n．

解答： 證明：設(shè)（η₁，η₂）～f（x，y），
η₁，η₂都是存在數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)變量，
則E（η₁+η₂）=

∞

-∞

∞

-∞

（x+y）f（x，y）dxdy
=

∞

-∞

∞

-∞

（x+y）f（x，y）dxdy
=

∞

-∞

∞

-∞

xf（x，y）dxdy+

∞

-∞

∞

-∞

yf（x，y）dxdy
=Eη₁+Eη₂．
同理，得：ξ是隨機(jī)變量，ξ=η₁+η₂+…+η_n，
η_i（i=1，2，…，n）都是存在數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)變量，
那么Eξ=Eη₁+Eη₂Eη₁+…+Eη_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意定積分的性質(zhì)的合理運(yùn)用．