Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和S_n，且a₁=1，a_n+1=-

1

3

S_n（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄的值；  
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件直接求解求a₂，a₃，a₄的值；  
（2）通過(guò)（1）直接猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟直接證明即可．

解答： 解（1）：由a_n+1=-

1

3

S_n  （n∈N*），且a₁=1得
a₂=-

1

3

….1′
a₃₌-

2

9

….1′
a₄₌-

4

27

…..1′
（2）：猜想：a_n=

1(n=1) - 1 3 ( 2 3 )n-2(n≥2)

…2′
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1、n=2時(shí)，a₁=1，a₂=-

1

3

，猜想結(jié)論成立…1′
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（，k≥2，k∈N*），猜想結(jié)論成立．
當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=-

1

3

S_k=-

1

3

（S_k-1+a_k）
=-

1

3

S_k-1-

1

3

a_k
=a_k-

1

3

a_k
=

2

3

ak
=

2

3

[-

1

3

•(

2

3

)k-2]
=-

1

3

(

2

3

)k+1-2…3′
由（�。�，（ⅱ）可得，猜想對(duì)任意n∈N*都成立．…1′．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．