Question

12．若關(guān)于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有根，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，0]
• B． [0，2]
• C． [-2，2]
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得-m=x³-3x，x∈[0，2]，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在[0，1]上增，在[1，2]上減，由此求得函數(shù)-m在[0，2]上的值域，從而求得m的范圍．

解答 解：由題意可知方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，則函數(shù)-m=x³-3x，x∈[0，2]．
求出此函數(shù)的值域，即可得到實數(shù)m的取值范圍．
令y=x³-3x，x∈[0，2]，則 y'=3x²-3，
令y'＞0，解得x＞1，故此函數(shù)在[0，1]上減，在[1，2]上增，
又當(dāng)x=1，y=-2； 當(dāng)x=2，y=2； 當(dāng)x=0，y=0．
∴函數(shù)y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]，
故-m∈[-2，2]，∴m∈[-2，2]，
故選：C．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)的合理運用．