Question

正四棱柱AC₁中，底面ABCD是邊長為4的正方形，A₁C₁與B₁D₁交于點N，BC₁與B₁C交于點M，且AM⊥BN，建立空間直角坐標系.

（1）求AA₁的長；

（2）求〈,〉；

（3）對于n個向量a₁，a₂，…,a_n，如果存在不全為零的n個實數(shù)λ₁,λ₂,…,λ_n，使得λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ₂a_n=0成立，則n個向量a₁，a₂，…，a_n叫做線性相關(guān)，不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān)，判斷、、是否線性相關(guān)，并說明理由.

Answer 1

解:（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)AA₁的長為a，則B（4，4，0）、N（2，2，a）.

∴=(-2,-2,a).

    又A(4,0,0)、M(2,4,),

∴=(-2,4,).

    由⊥,得·=0,∴4-8+=0.

∴a=2，即AA₁的長為2.

（2）可得=（-2，-2，2 ），=（-4，0，2），

∴cos〈,〉==.

∴〈,〉=arccos.

（3）由=（-2，4，），=（-2，-2，2），=（0，-4，0）,

λ₁(-2,4,)+λ₂(-2,-2,2)+λ₃(0,-4,0)=0λ₁=λ₂=λ₃=0,線性無關(guān).