Question

17．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且點$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在雙曲線C上，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$
• B． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且點$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在雙曲線C上，知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出雙曲線C的標準方程．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且點$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在雙曲線C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=4，b²=1，
∴雙曲線C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意雙曲線的簡單性質的靈活運用．