Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

．
（1）求f（x）的極小值；
（2）若a、b＞0，求證：lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，求出極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極小值；
（2）由（1）f（x）≥f（0）=0，從而ln（1+x）≥

x

1+x

在定義域（-1，+∞）上恒成立．經(jīng)分析，令1+x=

a

b

，則上述不等式即為ln

a

b

≥1-

b

a

成立．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

，x＞-1
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x=1是f（x）的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，
所以f（x）的極小值=f（0）=0；
（2）由（1），f（x）≥f（0）=0，從而ln（1+x）≥

x

1+x

在定義域（-1，+∞）上恒成立．
要證lna-lnb≥1-

b

a

成立．即證ln

a

b

≥1-

b

a

成立．
令1+x=

a

b

，則

x

1+x

=1-

1

x+1

=1-

b

a

，于是ln

a

b

≥1-

b

a

，不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)極值求解，函數(shù)性質(zhì)的得出與應(yīng)用，考查構(gòu)造，分析解決問(wèn)題能力，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．