Question

已知函數(shù)（x＞0）。
（1）試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論；
（2）若x₁≥1，x₂≥1，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜1。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間 [1，+∞）上是減函數(shù)。
設(shè)
則
∵
同理
又
∴
①當時，
即
∴
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)；
②當時，
即
∴
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
綜上所述函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)。
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，
∵
∴
f（x₂）≤f（1）=1，
又
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，即得
0＜f（x₁）≤1，0＜f（x₂）≤1
∴-1＜f（x₁）-f（x₂）＜1，
∴ |f（x₁）-f（x₂）|＜1。