Question

在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足.

   （1）求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

   （2）過(guò)點(diǎn)Q(－2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）軌跡C的方程為

（2）存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為

解析:

（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圓上的任意一點(diǎn)，則

    則有：得，

    軌跡C的方程為 

   （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn).

    所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線方程為

    由

    由△=

    即 …   

    即，∴四邊形OANB為平行四邊形

    假設(shè)存在矩形OANB，則，即，

    即，

    于是有    得 … 設(shè)，

即點(diǎn)N在直線上.

 ∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為