Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x²+2x）=a有6個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（8，9]．

Answer 1

分析 作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$的圖象，從而由題意可得x²+2x=m有兩個解，f（x）=a有三個都大于-1的解，從而解得．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$的圖象如右圖，
∵x²+2x=m最多有兩個解，f（x）=a最多有三個解，
∴當(dāng)x²+2x=m有兩個解，f（x）=a有三個解時，
方程f（x²+2x）=a有6個不同的實根；
若使f（x）=a有三個解，則2＜a≤9；
若使x²+2x=m有兩個解，則m＞-1；
故f（x）=a的三個解都大于-1；
故x＞-1，故x³+9＞8，
故實數(shù)a的取值范圍是：（8，9]；
故答案為：（8，9]．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用．