Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為${F_1}（-\sqrt{3}，0）$、${F_2}（\sqrt{3}，0）$，點(diǎn)P在橢圓C上，滿(mǎn)足|PF₁|=7|PF₂|，tan∠F₁PF₂=4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（1，0），試探究是否存在直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點(diǎn)，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）由tan∠F₁PF₂=4$\sqrt{3}$．可得cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{7}$．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由|PF₁|=7|PF₂|，可得m=7n．
利用橢圓的定義及其余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}{m=7n}\\{m+n=2a}\\{\frac{1}{7}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2mn}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（II）假設(shè)存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足題設(shè)，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），將y=kx+m代入橢圓方程可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由于△＞0，可得4k²+1＞m²，設(shè)D，E中點(diǎn)為M（x₀，y₀），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$M（-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{{m-3{k^2}m}}{{1+4{k^2}}}）$，利用k_AMk=-1，得$m=-\frac{{1+4{k^2}}}{3k}$，代入△＞0解出即可．

解答 解：（I）∵tan∠F₁PF₂=4$\sqrt{3}$．∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{7}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∵|PF₁|=7|PF₂|，∴m=7n．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m=7n}\\{m+n=2a}\\{\frac{1}{7}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2mn}}\end{array}\right.$，解得a=2，m=$\frac{7}{2}$，n=$\frac{1}{2}$．
∴b²=a²-c²=1，
故所求C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（II）假設(shè)存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足題設(shè)，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$并整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=-16（m²-4k²-1）＞0，
得4k²+1＞m²，①
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，
設(shè)D，E中點(diǎn)為M（x₀，y₀），M$（\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}，\frac{m}{1+4{k}^{2}}）$，
∵k_AMk=-1，得②$m=-\frac{{1+4{k^2}}}{3k}$，
將②代入①得$4{k^2}+1＞{（\frac{{1+4{k^2}}}{3k}）^2}$，
化簡(jiǎn)得20k⁴+k²-1＞0⇒（4k²+1）（5k²-1）＞0，解得$k＞\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$k＜-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
∴存在直線(xiàn)l，使得|AD|=|AE|，此時(shí)k的取值范圍為$（-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）∪（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．