Question

20．（1）已知x$＜\frac{5}{4}$，求函數(shù)y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$的最大值．
（2）已知a≤1且a≠0，解關(guān)于x的二次不等式ax²-2x-2ax+4＞0．

Answer 1

分析 （1）由x＜-$\frac{5}{4}$，得5-4x＞0，由此利用均值定理能求出函數(shù)y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$的最大值．
（2）由已知得（ax-2）（x-2）＞0．由此根據(jù)a=1，0＜a＜1，a＜0進(jìn)行分類討論，能求出關(guān)于x的二次不等式ax²-2x-2ax+4＞0的解集．

解答 解：（1）∵x＜-$\frac{5}{4}$，∴5-4x＞0，
∴y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$=-（5-4x+$\frac{1}{5-4x}$）+3≤-2+3=1．
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=$\frac{1}{5-4x}$，即x=1時(shí)，y_max=1．
（2）∵a≤1且a≠0，ax²-2x-2ax+4＞0，
∴（ax-2）（x-2）＞0．
當(dāng)a=1時(shí)，解集為{x|x≠2}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|x＞$\frac{2}{a}$或x＜2}；
當(dāng)a＜0時(shí)，解集為{x|$\frac{2}{a}＜x＜2$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和均值定理的合理運(yùn)用．