Question

12．已知定義在（0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足：xf′（x）-f（x）=xe^x且f（1）=-3，f（2）=0．則函數(shù)y=f（x）（　　）

• A． 有極小值，無(wú)極大值
• B． 有極大值，無(wú)極小值
• C． 既有極小值又有極大值
• D． 既無(wú)極小值又無(wú)極大值

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而解得．

解答 解：∵$（\frac{f（x）}{x}）′$=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$＞0，
∴$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵xf′（x）-f（x）=xe^x，
∴f′（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^x，
∵y=e^x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f′（1）=-3+e＜0，f′（2）=0+e²＞0，
故f′（x）在（0，+∞）上先負(fù)值，后正值；
故函數(shù)y=f（x）有極小值，無(wú)極大值，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$．