Question

如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過P作PE⊥AC，垂足為E，做PF⊥AB，垂足為F。O₁、O₂分別是△BDF、△CDE的外心。求證：O₁、O₂、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是△ABC的垂心。

Answer 1

證明略

解析:

證明：連結(jié)BP、CP、O₁O₂、EO₂、EF、FO₁。因?yàn)?i>PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四點(diǎn)共圓，

且BP為該圓的直徑。又因?yàn)?i>O₁是△BDF的外心，故O₁在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且O₂是的CP中點(diǎn)。綜合以上知O₁O₂∥BC，所以∠PO₂O₁=∠PCB。因?yàn)?i>AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。

充分性：設(shè)P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O₁、P、E四點(diǎn)共線，C、O₂、P、F四點(diǎn)共線，∠FO₂O₁=∠FCB=∠FEB=∠FEO₁，故O₁、O₂、E、F四點(diǎn)共圓。

必要性：設(shè)O₁、O₂、E、F四點(diǎn)共圓，故∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°。

由于∠PO₂O₁=∠PCB=∠ACB??∠ACP，又因?yàn)?i>O₂是直角△CEP的斜邊中點(diǎn)，也就是△CEP的外心，所以∠PO₂E=2∠ACP。因?yàn)?i>O₁是直角△BFP的斜邊中點(diǎn)，也就是△BFP的外心，從而∠PFO₁=90°??∠BFO₁=90°??∠ABP。因?yàn)?i>B、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°??∠ACB。于是，由∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°得

(∠ACB??∠ACP)+2∠ACP+(90°??∠ABP)+(90°??∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因?yàn)?i>AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD。設(shè)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)，則B'在線段DC上且B'D=BD。連結(jié)AB'、PB'。由對稱性，有∠AB'P=∠ABP，從而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四點(diǎn)共圓。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°??∠ACB。因?yàn)椤?i>PBC=∠PB'B，

故∠PBC+∠ACB=(90°??∠ACB)+∠ACB=90°，故直線BP和AC垂直。由題設(shè)P在邊BC的高上，所以P是△ABC的垂心。