Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證: ；

(Ⅲ)設(shè)，對(duì)于任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，分別令和，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)由兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，構(gòu)造新函數(shù)，求出其單調(diào)性，即可得證；（Ⅲ）根據(jù)題意寫(xiě)出的表達(dá)式，求出在上的單調(diào)性，可得的最大值，列出不等式，構(gòu)造新函數(shù) ，分類討論，確定單調(diào)性，即可求出的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)或，

時(shí)，∴ 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以， ，即， ，所以

，().

令，()，則

所以在上單調(diào)遞減. ，即.

（Ⅲ）∵

∴ ，

∵，

∴， 在上單調(diào)遞增，

∴ ，

∵ 在上恒成立

令 ， ，則在上恒成立．

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減， ，不合題意；

當(dāng)時(shí)， ， ，

（1），即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，存在不合題意；

（2），即時(shí)， 在上單調(diào)遞增， ，滿足題意．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．