Question

（2011•孝感模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足

2an

an+2

=an+1(n∈N*)，且a1=

1

1006

．
（I）求證：數(shù)列{

1

an

}{去）是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）若bn=

2-2010an

an

，且cn=bn•(

1

2

)n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知，轉(zhuǎn)化構(gòu)造得出

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，得出{

1

an

}以1006為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．先求出

1

an

，再求a_n
（Ⅱ）將a_n代入b_n，得b_n=n+1，從而c_n=b_n•(

1

2

)n=（n+1）•(

1

2

)n．利用錯(cuò)位相消法求解．

解答：解：（I）將

2an

an+2

=an+1(n∈N*)兩邊取倒數(shù)，并移向

1

an+1

=

1

an

+

1

2

∴{

1

an

}以1006為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=1006+

1

2

（n-1）=

n+2011

2

．
通項(xiàng)a_n=

2

n+2011

 （Ⅱ） 將a_n代入b_n，得b_n=

2-2010× 2 n+2011

2 n+2011

=n+1
∴c_n=b_n•(

1

2

)n=（n+1）•(

1

2

)n．T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4…+(n+1)(

1

2

)n+1②
①-②得：

1

2

T_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4…-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

T_n=3-

n+3

2n

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義，判斷、通項(xiàng)公式求解，錯(cuò)位相消法求和．考查 通過對遞推式變形，構(gòu)造出特殊的數(shù)列來解決問題的能力，計(jì)算能力，以及分析問題解決問題的能力．