Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x）．當x∈[0，1]時，f（x）=

1

2

-x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A．（-

  1

  4

  ，

  1

  6

  ）
• B．（-

  1

  4

  ，

  1

  6

  ]
• C．[-

  1

  6

  ，

  1

  4

  ]
• D．(-

  1

  6

  ，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可求出f（x）區(qū)間（-1，2]上的分段函數(shù)的表達式，然后在同一坐標系內(nèi)作出y=f（x）和y=m（x+1）的圖象，觀察直線y=m（x+1）的斜率m變化，可得直線y=m（x+1）位于圖中AB、AC之間（包括AC）活動時，兩個圖象有三個公共點，由此求出直線AB、AC的斜率并與實數(shù)m加以比較，即可得到本題的答案．

解答：解：設(shè)得x+1∈[0，1]，此時f（x+1）=

1

2

-（x+1）=-x-

1

2

∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x）
∴當-1≤x≤0時，f（x）=x+

1

2

．
又∵f（x+2）=-f（x+1）═-[f（-x）]=f（x）
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，可得當1≤x≤2時，f（x）=f（x-2）=x-

3

2

．
綜上所述，得f（x）區(qū)間（-1，2]上的表達式為f（x）=

x+ 1 2      x∈(-1，0] 1 2 -x     x∈(0，1] x- 3 2       x∈(1，2]

為了研究g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]上的零點，將其變形為
f（x）=m（x+1），在同一坐標系內(nèi)作出y=f（x）和y=m（x+1）的圖象，
如右圖所示，y=f（x）圖象是三條線段構(gòu)成的折線，y=m（x+1）的圖象是直線
因為直線y=m（x+1）經(jīng)過定點A（-1，0），所以由圖象可得當直線y=m（x+1）
位于圖中AB、AC之間（包括AC）活動時，兩個圖象有三個公共點，相應(yīng)地
g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]也有3個零點
∵B（1，-0.5），C（2，0.5），
∴k_AB=

-0.5-0

1-(-1)

=-

1

4

，k_AC=

0.5-0

2-(-1)

=

1

6

而直線y=m（x+1）的斜率為m，它在AB、AC之間（包括AC）活動時，m（-

1

4

，

1

6

]．
因此，使得g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]有3個零點的m取值范圍為（-

1

4

，

1

6

]

點評：本題給出分段函數(shù)圖象與直線有三個公共點，求直線斜率m的取值范圍，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線的斜率及其變化等知識，屬于中檔題．