Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=wx₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)“伸縮w倍點(diǎn)”，已知函數(shù)f（x）=ax²-ax-（a+3）．
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)f（x）的“伸縮2倍點(diǎn)”；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）有唯一一個(gè)“伸縮3倍點(diǎn)”時(shí)，求二次函數(shù)f（x）=ax²-ax-（a+3）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：新定義

分析：由題意，（1）w=2，伸縮2倍點(diǎn)：即f（x）=2x，解此方程即可；
（2）函數(shù)f（x）有唯一一個(gè)“伸縮3倍點(diǎn)”，即f（x）=ax²-ax-（a+3）=3x有唯一一個(gè)解，即ax²-（a+3）x-（a+3）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于a 的方程，求a．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ax²-ax-（a+3）=x²-x-4，伸縮2倍點(diǎn)：f（x）=2x即x²-x-4=2x，整理為：（x-4）（x+1）=0，∴x=4或者x=-1是伸縮2倍點(diǎn)；
（2）∵函數(shù)f（x）有唯一一個(gè)“伸縮3倍點(diǎn)”，即f（x）=ax²-ax-（a+3）=3x有唯一一個(gè)解，∴ax²-（a+3）x-（a+3）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=[-（a+3）]²+4a（a+3）=0，解得a=-3，或a=-

3

5

；
當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=-3x²+3x=-3（x-

1

2

）²+

3

4

≤

3

4

，所以最大值為

3

4

；
當(dāng)a=-

3

5

時(shí)，f（x）=-

3

5

x²+

3

5

x+

12

5

=-

3

5

（x-

1

2

）²+

51

20

，所以最大值為

51

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是明確“伸縮w倍點(diǎn)”的真正含義，得到方程或者函數(shù)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題解答．