Question

已知向量

m

=（cosx，-1），

n

=（

3

sinx，-

1

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分別為三角形ABC的內(nèi)角對應(yīng)的三邊長，A為銳角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量運(yùn)算和三角函數(shù)公式可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin（2x+

π

6

）+2，可得周期；（2）易得A=

π

6

，由余弦定理可得b值，可得面積．

解答： 解：（1）由題意可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=

m

2+

m

•

n

=cos²x+1+

3

sinxcosx+

1

2

=

1+cos2x

2

+1+

3

2

sin2x+

1

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2
=sin（2x+

π

6

）+2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，
又f（A）恰是函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，A為銳角，可得A=

π

6

，
由余弦定理可得1²=b²+3-2b×

3

×

3

2

，解得b=1或b=2
當(dāng)b=1時，三角形ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

，
當(dāng)b=2時，三角形ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．