Question

正四棱柱ABCD-ABCD中，已知AB=2，E，F(xiàn)分別是D₁B，AD的中點，cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

（1）以D為坐標原點，建立適當?shù)淖鴺讼担�求出E點的坐標；
（2）證明：EF⊥D₁B且EF⊥AD
（3）求二面角D₁-BF-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面向量數(shù)量積的運算,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)D₁（0，0，2m）（m＞0），則E（1，1，m）．由cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

，利用向量法求出m=1，從而E點坐標為（1，1，1）．
（2）由已知得正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為2的正方體．由向量法得到

BD1

•

EF

=0，

AD

•

EF

=0，由此能證明EF⊥D₁B且EF⊥AD．
（3）求出平面FD₁B的法向量和平面BFC的法向量，由此利用向量法能求出二面角D₁-BF-C的余弦值．

解答： （1）解：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．
設(shè)D₁（0，0，2m）（m＞0），則E（1，1，m）．
∵

CE

=（1，-1，m），

DD1

=（0，0，2m）
∵cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

，
∴cos＜

CE

，

DD1

＞=

CE • DD1

| CE |•| DD1 |

=

2m2

2+m2 • 4m2

=

3

3

，
解得m=1，故E點坐標為（1，1，1）．
（2）證明：由（1）可知，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為2的正方體．
又∵FD=1，∴F（1，0，0），
∴

BD1

=（-2，-2，2），

EF

=（0，-1，-1），

AD

=（-2，0，0），
∴

BD1

•

EF

=0+2-2=0，

AD

•

EF

=0+0+0=0，
∴

BD1

⊥

EF

，

AD

⊥

EF

，
∴EF⊥D₁B且EF⊥AD．
（3）解：D₁（0，0，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，1，0），
C（0，2，0），

D1B

=（2，2，-2），

D1F

=（0，1，-2），
設(shè)平面FD₁B的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • D1F =y-2z=0 n • D1B =2x+2y-2z=0

，取z=1，得

n

=（-1，2，1），
又平面BFC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角D₁-BF-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

6

=

6

6

，
∴二面角D₁-BF-C的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查點的坐標的求法，考查直線與直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用，是中檔題．