Question

如圖，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．

(1)求證：GF∥底面ABC；

(2)求證：AC⊥平面EBC；

(3)求幾何體ADEBC的體積V.

Answer 1

 [解]　(1)證明：連接AE，如下圖所示．

∵ADEB為正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點(diǎn)，

又G是EC的中點(diǎn)，

∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC＝BC＝AB，

∴CA2＋CB2＝AB2，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.

(3)取AB的中點(diǎn)H，連GH，∵BC＝AC＝AB＝，

∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC

∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.