Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是D={x∈R|x≠0}，對(duì)任意x₁，x₂∈D都有：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．給出結(jié)論：
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
④f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
則正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先探究函數(shù)f（x）的奇偶性：通過(guò)賦值，先令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值，再令x₁=x₂=-1，可求得f（-1）=0，最后再令x₁=-1，x₂=x，可判斷函數(shù)的奇偶性，從而可判斷①與②；再探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上上的單調(diào)性：利用定義，設(shè)x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，依題意，易知f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而可判斷③與④．

解答： 解：先探究函數(shù)f（x）的奇偶性：
令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
再令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），即f（1）=2f（-1）=0，解得f（-1）=0；
再令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），
∴f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．
故①正確，②錯(cuò)誤；
再探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上上的單調(diào)性：
令x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1；
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x2）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x2）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故③正確，④錯(cuò)誤；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的分析與探究，突出考查賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．