Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿(mǎn)足：a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），求證：S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*），由此能求出a_n=10-2n．
（2）由b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能證明S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）
∴{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，∴d=-2，
∴a_n=8+（n-1）（-2）=10-2n．
（2）證明：b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用．