Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，數(shù)列滿足，，對任意，都有.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）

【解析】

試題（1）由，得，又，兩式相減得，整理得，即，又因?yàn)?/span>，，

利用累積法得，

從而可求出數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式為；

在數(shù)列中，由，得，且，

所以數(shù)學(xué)是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由題意得，

，

兩式相減得，

由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得，

由不等式恒成立，得恒成立，

即（）恒成立，

構(gòu)造函數(shù)（），

當(dāng)時(shí)，恒成立，則不滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時(shí)，恒成立，則滿足條件．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：（1）∵，∴()，兩式相減得，，

∴，即()，又因?yàn)?/span>，，從而

∴()，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式()．

在數(shù)列中，由，知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（2）∴①

∴②

由①-②，得，

∴，

不等式即為，

即（）恒成立．

方法一、設(shè)（），

當(dāng)時(shí)，恒成立，則不滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時(shí)，恒成立，則滿足條件．

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．

方法二、也即（）恒成立，

令．則，

由，單調(diào)遞增且大于0，∴單調(diào)遞增∴

∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．