【題目】如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點，在線段上是否存在一點使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，也請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點.

【解析】

（1）由幾何體的結構特征和線面垂直的判定定理，證得平面，得到，進而得到，再由四邊形為正方形，所以，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）取的中點，分別連接，，，利用幾何體的結構特征和線面平行的判定和性質，即可求解.

（1）由題意，三棱柱為直三棱柱，所以，

又因為，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，所以，

又因為，所以，

在中，，，，所以，

又因為，所以四邊形為正方形，所以.

因為，平面，平面，

所以平面.

（2）當點為的中點時，平面.

證明如下：取的中點，分別連接，，，

所以，分別為，的中點，所以，

又因為平面，平面，所以平面，

因為，分別是直三棱柱側棱，的中點，所以，

又因為平面，平面，所以平面，

又∵，平面，平面，所以平面平面.

又因為平面，所以平面.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

保費

設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：

一年內出險次數(shù)

0

1

2

3

4

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（1）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（2）已知一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項為1，且，數(shù)列滿足，，對任意，都有.

（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）令，數(shù)列的前項和為.若對任意的，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據，數(shù)據統(tǒng)計如表：

組別

PM2.5濃度
（微克/立方米）

頻數(shù)（天）

頻率

第一組

（0，25]

3

0.15

第二組

（25，50]

12

0.6

第三組

（50，75]

3

0.15

第四組

（75，100]

2

0.1


（1）將這20天的測量結果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖． ①求圖4中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費元（不返還），游戲甲有種結果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.

（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢數(shù)-付費錢數(shù)），求的概率分布及期望；

（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，球的表面積為，球心為空間直角坐標系的原點，且球分別與軸的正交半軸交于三點，已知球面上一點.

（1）求兩點在球上的球面距離；

（2）過點作平面的垂線，垂足，求的坐標，并計算四面體的體積；

（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）． （Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校對高二年段的男生進行體檢，現(xiàn)將高二男生的體重（kg）數(shù)據進行整理后分成6組，并繪制部分頻率分布直方圖（如圖所示）．已知第三組[60，65）的人數(shù)為200．根據一般標準，高二男生體重超過65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦．觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求體重在[60，65）內的頻率，并補全頻率分布直方圖；

（2）用分層抽樣的方法從偏胖的學生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進行調查，則各組應分別抽取多少人？

（3）根據頻率分布直方圖，估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù)．

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