Question

對于定義在實數(shù)集R上的兩個函數(shù)f（x），g（x），若存在一次函數(shù)h（x）=kx+b使得，對任意的x∈R，都有f（x）≥h（x）≥g（x），則把函數(shù)h（x）的圖象叫函數(shù)f（x），g（x）的“分界線”．現(xiàn)已知f（x）=（2x+2）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=-x²+4x+1，又函數(shù)f（x），g（x）的一條“分界線”過點（0，1），則這條“分界線”的函數(shù)解析式為

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)h（x）=kx+1，利用h（x）≥g（x）得出k=4，再證明f（x）≥4x+1恒成立，設(shè)F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，利用導(dǎo)數(shù)工具求得F（x）_min=F（0）=1≥0，滿足要求．

解答： 解：設(shè)h（x）=kx+1，h（x）≥g（x）成立等價于x²+（k-4）x≥0恒成立，
∴△=（k-4）²≤0，解得k=4，
所以h（x）=4x+1．
下面證明f（x）≥4x+1恒成立．
設(shè)F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，
則F′（x）=（2x+4）e^x-4，
當(dāng)x=0時，F(xiàn)′（x）=0，當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′（x）＜0，
所以x=0是F（x）的極小值點，也是最小值點，∴F（x）≥F（0）=1≥0，
所以h（x）=4x+1滿足要求．
故答案為：h（x）=4x+1

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的應(yīng)用和用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．