由y=0,x=8,y=x2圍成的曲邊三角形,在曲線弧OB上求一點M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大.
分析:首先根據(jù)已知條件求出切線方程,接著求出P,Q點的坐標(biāo),再列出關(guān)于面積的式子,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法求解即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,設(shè)點M(t,t2),
y=x2中,y′=2x,f′(t)=2t;
則過點M的切線的斜率為2t,即切線方程為y-t2=2t(x-t),(0≤t≤8)
當(dāng)t=0時,切線為y=0,△PQA不存在,所以(0<t≤8).
在切線方程中令y=0,得到P點的橫坐標(biāo)為
t
2
,令x=8,得到Q點的縱坐標(biāo)為16t-t2
所以S△PQA=
1
2
(8-
t
2
)(16t-t2),
令S′(t)=(8-
t
2
)(8-
3t
2
)=0;
解可得得t=16(舍去)或t=
16
3

由二次函數(shù)的性質(zhì)分析易得,
t=
16
3
是S△PQA=
1
2
(8-
t
2
)(16t-t2)的極大值點;
從而當(dāng)t=
16
3
時,面積S(t)有最大值Smax=S(
16
3
)=
4096
27
,此時M(
16
3
,
256
9
點評:本題綜合性較強,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,還考查了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題,本題符合高考考試大綱,是一道不可多得的好題,有一定的代表性.
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精英家教網(wǎng)如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成了曲邊三角形OAB,M為曲線弧OB上一點,
設(shè)M點的橫坐標(biāo)為x0,過M作y=x2的切線PQ
(1)求PQ所在直線的方程(用x0表示);
(2)當(dāng)PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大時,求x0

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(本題滿分10分)   如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成的曲邊三角形,在曲線弧OB上求一點M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大。

                                                 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成了曲邊三角形OAB,M為曲線弧OB上一點,
設(shè)M點的橫坐標(biāo)為x0,過M作y=x2的切線PQ
(1)求PQ所在直線的方程(用x0表示);
(2)當(dāng)PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大時,求x0

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如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成了曲邊三角形OAB,M為曲線弧OB上一點,
設(shè)M點的橫坐標(biāo)為x,過M作y=x2的切線PQ
(1)求PQ所在直線的方程(用x表示);
(2)當(dāng)PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大時,求x

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