Question

13．已知（x+$\sqrt{{x}^{2}+2014}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2014}$）=2014，求x²-3xy-4y²-6x-6y+58的值．

Answer 1

分析 令x+$\sqrt{{x}^{2}+2014}$=p，y+$\sqrt{{y}^{2}+2014}$=q，可得 （p-x）²=x²+2014，（q-y）²=y²+2014，pq=2014．化簡整理可得：p-2x=q，q-2y=p，可得x+y=0，代入即可得出．

解答 解：令x+$\sqrt{{x}^{2}+2014}$=p，y+$\sqrt{{y}^{2}+2014}$=q，
則 （p-x）²=x²+2014…（1）
（q-y）²=y²+2014…（2）
pq=2014．（3）
由（1）得：p²-2px=2014=pq （4）
由（2）得：q²-2qy=2014=pq （5）
由于pq=2014≠0，p≠0，q≠0
∴由（4）得：p-2x=q，
由（5）得：q-2y=p，
將上二式左右分別相加得：p+q-2（x+y）=p+q，
∴x+y=0，
于是x²-3xy-4y²-6x-6y+58
=（x-4y）（x+y）-6（x+y）+58
=（x+y）（x-4y-6）+58
=0+58
=58．

點評 本題考查了根式的運算性質(zhì)、代數(shù)式的運算化簡，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．