在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦值是
 
．
分析：連接ED，取ED的中點(diǎn)M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=
1
2
AE，所以異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角，然后在△MFC中，借助正弦或余弦定理解出所求的角．
解答：解：如圖所示：設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，
連接ED，取ED的中點(diǎn)M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=
1
2
AE，
∴異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角，
∵AE=CF=
3
2
a，
∴FM=
3
4
a
在Rt△MEC中，EC=
1
2
a，EM=
3
4
a，
∴MC=
7
4
a
∴cos∠CFM=
CF2+FM2-MC2
2×CF×FM
=
3
4
+
3
16
-
7
16
2×
3
2
×
3
4
=
2
3
．
故答案是：
2
3
．
精英家教網(wǎng)
點(diǎn)評：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力．求異面直線所成的角，一般有兩種方法，法一幾何法，即利用“作、證、求”求得角；法二向量法，即利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角的余弦值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成的角是
 
．（用反三角值表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知有關(guān)正三角形的一個(gè)結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結(jié)論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結(jié)論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，則
AO
OM
=
3
3
”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)使用類比推理得到如下結(jié)論：
（1）同一平面內(nèi)，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b，類比出：空間中，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0則a＞b，類比出：a，b∈C，a-b＞0則a＞b；
（3）以點(diǎn)（0，0）為圓心，r為半徑的圓的方程是x2+y2=r2，類比出：以點(diǎn)（0，0，0）為球心，r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，O是△ABC外接圓的圓心，則
AO
OM
=2，類比出：在正四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則
AO
OM
=3．
其中類比的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的大小為
arccos
3
6
arccos
3
6
．

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