已知有關(guān)正三角形的一個結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結(jié)論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結(jié)論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，則
AO
OM
=
3
3
”．
分析：類比平面幾何結(jié)論，推廣到空間，則有結(jié)論：“
AO
OM
=3”．設(shè)正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=
6
3
，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=
3V
S表
，可求得r即OM，從而可驗證結(jié)果的正確性．
解答：解：推廣到空間，則有結(jié)論：“
AO
OM
=3”．
設(shè)正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=
6
3
，又O到四面體各面的距離都相等，
所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，
則有r=
3V
S表
，可求得r即OM=
6
12
，
所以AO=AM-OM=
6
4
，所以 
AO
OM
=3．
故答案為：3
點評：本題考查類比推理、幾何體的結(jié)構(gòu)特征、體積法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α是△ABC的一個內(nèi)角，且cosa=-
12
13
，則
sin2a
cos2a
=
-
5
6
-
5
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的一個焦點為F(
1
2
，0)，其準線方程為x=-
1
2

（1）寫出拋物線C的方程；
（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l的一個方向向量為
a
=(-2，3)，則直線l的斜率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省徐州市高二（下）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知有關(guān)正三角形的一個結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心，則=2”．若把該結(jié)論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結(jié)論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，則=    ”．

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