Question

20．設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2．
（1）求f（0），f（2），f（4）的值；
（2）若f（x）為一次函數(shù)，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知f（0）=f（2×0）=2f（0）+1，從而f（0）=-1．進而f（2）=f（2×1）=2f（1）+1，f（4）=f（2×2）=2f（2）+1，由此能求結果．
（2）設f（x）=kx+b，k≠0，由f（1）=2，f（0）=-1，得f（x）=3x-1，從而g（x）=（x-m）（3x-1）=3x²-（3m+1）x+m，由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2，
∴f（0）=f（2×0）=2f（0）+1，解得f（0）=-1．
f（2）=f（2×1）=2f（1）+1=2×2+1=5，
f（4）=f（2×2）=2f（2）+1=2×5+1=11．
（2）∵f（x）為一次函數(shù)，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)，
∴設f（x）=kx+b，k≠0，
∵f（1）=2，f（0）=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得k=3，b=-1，
∴f（x）=3x-1，
則g（x）=（x-m）（3x-1）=3x²-（3m+1）x+m，
由題意得$\frac{3m+1}{6}≤3$，解得m≤$\frac{17}{3}$．
∴m的取值范圍（-∞，$\frac{17}{3}$]．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．